Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE 1. CHứng minh tam giác ADE cân 2. KẺ BH vuông góc AD ( H thuộc AD); CK vuông góc AE (K thuộc AE). C/m BH=CK 3.C/m AH=AK 4.C/m Hk//DE 5. GỌi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác BOC là tam giác gì? Vì sao? 6. Gọi I là trung điểm của BC. C/m ba điểm A, I , O thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

1) `ΔABC` cân tại `A => AB=AC; \hat{ABC}=\hat{ACB}`

mà `\hat{ABC}+\hat{ABD}=180^0` (kề bù)

      `\hat{ACB}+\hat{ACE}` (kề bù)

`=> \hat{ABD}=\hat{ACE}` 

Xét `ΔABD` và `ΔACE` có:

`AB=AC` (cmt)

`\hat{ABD}=\hat{ACE}`  (cmt)

`BD=CE` (gt)

`=> ΔABD=ΔACE` (c.g.c)

`=> AD=AE` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔADE` cân tại `A`

2)  `ΔADE` cân tại `A => \hat{D}=\hat{E}`

Xét `ΔBHD` và `ΔCKE` có:

`\hat{BHD}=\hat{CKE}=90^0 (BH⊥AD; CK⊥AE)`

`BD=CE` (gt)`

`\hat{D}=\hat{E}` (cmt)

`=> ΔBHD=ΔCKE` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=> BH=CK` (2 cạnh tương ứng)

3) `ΔBHD=ΔCKE` (cmt)

`=> DH=EK` (2 cạnh tương ứng)

lại có `AD=AE`(cmt) 

`=> AD-DH=AE-EK => AH=AK`

4) `AH=AK` (cmt) `=> ΔAHK` cân tại `A`

`=> \hat{AHK}=\hat{AKH}=\frac{180^0-\hat{DAE}}{2}`

`ΔADE` cân tại `A => \hat{D}=\hat{E}= \frac{180^0-\hat{DAE}}{2}`

`=> \hat{AHK}=\hat{D}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `HK` và `DE`

`=>` $HK//DE$

5) `ΔBHD=ΔCKE` (cmt)

`=> \hat{HBD}=\hat{KCE}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{HBD}=\hat{CBO}` (đối đỉnh)

      `\hat{KCE}=\hat{BCO}` (đối đỉnh)

`=> \hat{CBO}=\hat{BCO}`

`=> ΔBOC` cân tại `O`

6) Xét `ΔBAI` và `ΔCAI` có:

`AB=AC` (cmt)

`AI`: cạnh chung

`IB=IC (I` là trung điểm của `BC)`

`=> ΔBAI=ΔCAI` (c.c.c)

`=> \hat{AIB}=\hat{AIC} `

mà `\hat{AIB}+\hat{AIC}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{AIB}=\hat{AIC}=90^0 => AI⊥BC`   (1)

Xét `ΔBOI` và `ΔCOI` có:

`OB=OC (ΔOBC` cân tại `O)`

`OI`: cạnh chung

`IB=IC` (`I` là trung điểm của `BC`)

`=> ΔBOI=ΔCOI` (c.c.c)

`=> \hat{OIB}=\hat{OIC}`

mà `\hat{OIB}+\hat{OIC}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{OIB}=\hat{OIC}=90^0 => OI⊥BC`    (2)

Từ (1) và (2) `=> O, I, A` thẳng hàng.