Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M thuộc AB, lấy N thuộc AC sao cho MB= NC. Kẻ MH vuông góc với BC. Nk vuông góc với BC a) CHứng minh tam giác AMN cân b)Chứng minh MN//BC ; c) CHứng minh HB = KC d) Gọi I là trung điểm MN; E là trung điểm của HK, chứng minh A, I, E thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` cân tại `A => AB=AC`

Ta có: `AB=AC; MB=NC`

`=> AB-MB=AC-NC => AM=AN`

`=> ΔAMN` cân tại `A`

b)  `ΔABC` cân tại `A => \hat{B}=\hat{C}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

`ΔAMN` cân tại `A => \hat{AMN}=\hat{ANM}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

`=> \hat{B}=\hat{AMN}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `MN` và `BC`

`=>` $MN//BC$

c) Xét `ΔBHM` và `ΔCKN` có:

`\hat{MHB}=\hat{NKC}=90^0 (MH⊥BC; NK⊥BC)`

`BM=NC` (gt)

`\hat{B}=\hat{C}` (cmt)

`=> ΔBHM=ΔCKN` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> HB=KC` (2 cạnh tương ứng)

d) Xét `ΔAMI` và `ΔANI` có:

`AM=AN` (cmt)

`AI`: cạnh chung

`IM=IN` (`I` là trung điểm của `MN`)

`=> ΔAMI=ΔANI` (c.c.c)

`=> \hat{MAI}=\hat{NAI}` (2 góc tương ứng)

`=>  AI` là tia phân giác của `\hat{BAC} (M∈AB; N∈AC)`   (1)

Ta có: `E` là trung điểm của `HK => EH=EK`

mà `BH=CK` (cmt) `=> EH+BH=EK+CK => EB=EC`

Xét `ΔABE` và `ΔACE` có:

`AB=AC` (cmt)

`AE`: cạnh chung

`BE=CE` (cmt)

`=> ΔABE=ΔACE` (c.c.c)

`=> \hat{BAE}=\hat{CAE}` (2 góc tương ứng)

`=> AE` là tia phân giác của `\hat{BAC}`   (2)

Từ (1) và (2) `=> A, I, E` thẳng hàng.