Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AM vuông gốc với BC

a) chứng minh MB=MC

b) Kẻ MK vuông góc với AB (K thuộc AB), MI vuông góc với AC (I thuộc AC). Chứng minh tam giác MIK cân

c) Chứng minh KI // BC

Đáp án:

a) $MB=MC$

b) $\triangle MIK$ cân tại M

c) $KI//BC$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle AMC$:

$\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\,\,\,(=90^o)$

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (2 góc ở đáy)

$\to\triangle AMB=\triangle AMC$ (ch - gn)

$\to MB=MC$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (2 góc tương ứng)

b)

Xét $\triangle AMK$ và $\triangle AMI$:

$\widehat{AKM}=\widehat{AIM}\,\,\,(=90^o)$

$AM$: chung

$\widehat{MAK}=\widehat{MAI}\,\,\,(\widehat{MAB}=\widehat{MAC})$

$\to\triangle AMK=\triangle AMI$ (ch - gn)

$\to MK=MI$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle MIK$ cân tại M

c)

$\triangle AMK=\triangle AMI$ (cmt)

$\to AK=AI$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AKI$ cân tại A

$\to\widehat{AKI}=\widehat{AIK}$ (2 góc ở đáy)

Ta có:

$\widehat{KAI}+\widehat{AKI}+\widehat{AIK}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{KAI}+2\widehat{AIK}=180^o$ (1)

Lại có: $\triangle ABC$ cân tại A (gt)

$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{BAC}+2\widehat{ACB}=180^o$ (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{AIK}=\widehat{ACB}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to KI//BC$