Cho tam giác ABC, AB=AC; kẻ AH vuông góc với BC, Kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC; kéo dài HE lấy M sao cho EM = EH; kéo dài HF lấy N sao cho HF = FN a) Chứng minh: AE = AF và tam giác AEF cân ; b) CHứng minh tam giác AMN cân c) Tam giác AMB = tam giác ANC ; d) MN//BC

Đáp án:

a) $AE=AF$, $\triangle AEF$ cân tại A

b) $\triangle AMN$ cân tại A

c) $\triangle AMB=\triangle ANC$

d) $MN//BC$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ cân tại A $(AB=AC)$, đường cao AH

$\to$ AH đồng thời là phân giác của $\widehat{BAC}$

Xét $\triangle AHE$ và $\triangle AHF$:

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}\,\,\,(=90^o)$

$AH$: chung

$\widehat{HAE}=\widehat{HAF}$ (cmt)

$\to\triangle AHE=\triangle AHF$ (ch - gn)

$\to AE=AF$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AEF$ cân tại A

b)

$\triangle AHE=\triangle AHF$ (cmt)

$\to HE=HF$ (2 cạnh tương ứng)

$\to EM=HE=HF=FN$

Xét $\triangle AEM$ và $\triangle AFN$:

$AE=AF$ (cmt)

$\widehat{AEM}=\widehat{AFN}\,\,\,(=90^o)$

$EM=FN$ (cmt)

$\to\triangle AEM=\triangle AFN$ (c.g.c)

$\to AM=AN$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle AMN$ cân tại A

c)

$\triangle AEM=\triangle AFN$ (cmt)

$\to\widehat{EAM}=\widehat{FAN}$ (2 góc tương ứng)

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle ANC$:

$AB=AC$ (gt)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\,\,\,(\widehat{EAM}=\widehat{FAN})$

$AE=AF$ (cmt)

$\to\triangle AMB=\triangle ANC$ (c.g.c)

d)

Ta có: $\widehat{MAB}=\widehat{NAC}$ (cmt)

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (cmt)

$\to\widehat{MAB}+\widehat{BAH}=\widehat{NAC}+\widehat{CAH}\\\to\widehat{MAH}=\widehat{NAH}$

$\to$ AH là phân giác của $\widehat{MAN}$

Mà $\triangle AMN$ cân tại A (cmt)

$\to$ AH đồng thời là đường cao

$\to AH\bot MN$

Lại có: $AH\bot BC$ (gt)

$\to MN//BC$