cho N =0,7.(2007^2009 - 2013^1999).chứng minh rằng :N là một số nguyên

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}
 + )2007 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {2007^{2009}} \equiv {7^{2009}}\left( {\bmod 10} \right)\\
{7^4} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {7^{2009}} = {7^{4.502 + 1}} = {\left( {{7^4}} \right)^{502}}.7 \equiv {1^{502}}.7 = 7\left( {\bmod 10} \right)\\
 \Rightarrow {2007^{2009}} \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\
 + )2013 \equiv 3\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {2013^{1999}} \equiv {3^{1999}}\left( {\bmod 10} \right)\\
{3^4} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \Rightarrow {3^{1999}} = {3^{4.499 + 3}} = {\left( {{3^4}} \right)^{499}}{.3^3} \equiv {1^{499}}{.3^3} = 27 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\
 \Rightarrow {2013^{1999}} \equiv 7\left( {\bmod 10} \right)\\
 \Rightarrow {2007^{2009}} - {2013^{1999}} \equiv 0\left( {\bmod 10} \right)\\
 \Rightarrow {2007^{2009}} - {2013^{1999}} = 10k\left( {k \in Z} \right)\\
 \Rightarrow 0,7\left( {{{2007}^{2009}} - {{2013}^{1999}}} \right) = 0,7.10k = 7k \in Z
\end{array}\]

Điều phải chứng minh.

Ta có:

2007²⁰⁰⁹ = 2007.(2007²)¹⁰⁰

         = 2007.(...9)¹⁰⁰⁴

       = 2007.(...1)  (Vì số có tận cùng = 9 mũ chẵn lên có tận cùng = 1)

       = (...7)  (Có tận cùng là 7)

 Ta có:

2013¹⁹⁹⁹ = 2013³.(2013²)⁹⁹⁸

          = (...7).(...9)⁹⁹⁸

        = (...7).(...1)  (Vì số có tận cùng = 9 mũ chẵn lên có tận cùng = 1)

        = (...7)  (Có tận cùng là 7)

\(\Rightarrow\)2007²⁰⁰⁹-2013¹⁹⁹⁹ = (...7)-(...7) = (...0)

\(\Rightarrow\)N là một số nguyên