Cho M=1+3+3²+$3^{3}$+.....+$3^{118}$+ $3^{119}$. a)Thu gọn M b)M có chia hết cho 5 không?có chia hết cho 13 không ?Vì sao. Lưu ý:Từ 1 đến 3^119 có 120 số KHÔNG thể chia đều cho 3 sô mỗi cặp được(PHẦN CHIA HẾT CHO 13).Nếu CM chia hết ddc thì hãy giải thích.

$\text{Đáp án:}$

$\text{ a, M = $\frac{ 3^{120} -1 }{2}$ }$

$\text{b, M $\vdots$ 5 và M $\vdots$ 13}$

$\text{Giải thích các bước giải:}$

$\text{a,Ta có: }$

$\text{M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + $3^{118}$ + $3^{119}$}$

$\text{⇒ 3M = 3 + 3² + 3³ + + $3^{4}$ ... + $3^{119}$ + $3^{120}$ }$

$\text{⇒ 3M - M = 3 + 3² + 3³ + $3^{4}$ + ... + $3^{119}$ + $3^{120}$ - ( 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + $3^{118}$ + $3^{119}$ ) }$

$\text{⇒ 2M = $3^{120}$ - 1 }$

$\text{⇒ M = $\frac{3^{120} -1 }{2}$   }$

$\text{Vậy M = $\frac{3^{120} -1 }{2}$ }$

$\text{b,Ta có: }$

$\text{M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + $3^{118}$ + $3^{119}$ }$

$\text{⇔ M = 1 + 3² + 3 + 3³ + ... + $3^{116}$ + $3^{118}$ + $3^{117}$ + $3^{119}$}$

$\text{⇔ M = ( 1 + 9 ) + 3 ( 1 + 9 ) + ... + $3^{116}$ ( 1 + 9 ) + $3^{117}$ ( 1 + 9) }$

$\text{⇔ M = 10 + 3 × 10 + ... + $3^{116}$ × 10 + $3^{117}$ × 10}$

$\text{⇔ M = 10 ( 3 + ... + $3^{116}$ + $3^{117}$ }$

$\text{Mà 10 $\vdots$ 5 ⇒ M $\vdots$ 5 }$

$\text{ Vậy M $\vdots$ 5 }$

$\text{Ta có: M = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + $3^{118}$ + $3^{119}$ }$

$\text{⇔ M = ( 1 + 3 + 3² ) + ( 3³ + $3^{4}$ + $3^{5}$ ) + ... + ( $3^{117}$ + $3^{118}$ + $3^{119}$ ) }$

$\text{⇔ M = 13  + 3³ (  1 + 3 + 3²  ) + ... +  $3^{117}$ ( 1 + 3 + 3² ) }$

$\text{⇔ M = 13  + 3³ × 13  + ... +  $3^{117}$ × 13 }$

$\text{⇔ M = 13 ( 1 + 3³ + ... + $3^{117}$ ) $\vdots$ 13 }$ 

$\text{ Vậy M $\vdots$ 13 }$

$\text{#duybylc2006}$