Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung điểm của SC và G là trọng tâm của tam giác ABC . I là giao điểm của AM và (SBD), Qua I kẻ đường thẳng song song BD cắt SD tại F, SB tại E. Gọi K là giao điểm của ME và CB. J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh K, A, J nằm trên 1 đường thẳng song song EF, tính $\frac{EF}{KJ}$

Đáp án:

Ta thấy: I là trọng tâm tg SAC => SI / SO = 2/3

$ \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3} = \frac{{EF}}{{BD}}$

Áp dụng Mendelauyt cho tg SBC và SCD có:

$\begin{array}{l}
 + \frac{{SE}}{{EB}}.\frac{{BF}}{{FC}}.\frac{{CM}}{{MS}} = 1\\
 \Rightarrow 2.\frac{{BF}}{{FC}}.1 = 1\\
 \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{1}{2}\left( 2 \right)\\
 + \frac{{SM}}{{MC}}.\frac{{CJ}}{{JD}}.\frac{{DF}}{{FS}} = 1\\
 \Rightarrow 1.\frac{{CJ}}{{JD}}.\frac{1}{2} = 1\\
 \Rightarrow \frac{{CJ}}{{JD}} = 2\left( 1 \right)\\
\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow BD//KJ;\frac{{BD}}{{KJ}} = \frac{1}{2}\\
 \Rightarrow \frac{{EF}}{{KJ}} = \frac{1}{3}
\end{array}$

Mà KA // BD

=> K,A,J cùng nằm trên đt //EF và EF/KJ = 1/3