Cho góc xOy . Trên tia Ox lấy hai điểm A và B , trên tia Oy lấy điểm C và D sao cho OA = OC ; AB = CD . Chứng minh: a) BC = AD b) Gọi I là giao điểm của BC và AD . Chứng minh rằng : tam giác AIB = tam giác CID c) OI là phân giác của góc xOy d)OI vuông góc với BD

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: `OA=OC; AB=CD `

`=> OA+AB=OC+CD => OB=OD`

Xét `ΔOAD` và `ΔOCB` có: 

`OA=OC` (gt)

`OD=OB` (gt)

`\hat{BOD}`: góc chung

`=> ΔOAD=ΔOCB` (c.g.c)

`=> AD=BC` (2 cạnh tương ứng)

b) `ΔOAD=ΔOCB` (cmt)

`=> \hat{CDI}=\hat{ABI}; \hat{OAD}=\hat{OCB}`

mà `\hat{OAD}+\hat{IAB}=180^0` (kề bù)

     `\hat{OCB}+\hat{ICD}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{IAB}=\hat{ICD}`

Xét `ΔAIB` và `ΔCID` có:

`\hat{CDI}=\hat{ABI}` (cmt)

`AB=CD` (gt)

`\hat{IAB}=\hat{ICD}` (cmt)

`=> ΔAIB=ΔCID` (g.c.g)

c) `ΔAIB=ΔCID` (cmt) `=> IB=ID` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔOBI` và `ΔODI` có:

`OB=OD` (cmt)

`OI`: cạnh chung

`IB=ID` (cmt)

`=> ΔOBI=ΔODI` (c.c.c)

`=> \hat{BOI}=\hat{COI}` (2 góc tương ứng)

`=> OI` là phân giác của `\hat{BOD}` hay `OI`  là phân giác của `\hat{xOy}`

d) Gọi `M` là giao điểm của `OI` và `BD`

Xét `ΔOBM` và `ΔODM` có:

`OB=OD` (cmt)

`\hat{BOM}=\hat{COM}` (`OI` là phân giác của `\hat{xOy}; M∈OI`)

`OM`: cạnh chung

`=> ΔOBM=ΔODM` (c.g.c)

`=> \hat{OMB}=\hat{OMD}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{OMB}+\hat{OMD}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{OMB}=\hat{OMD}=90^0`

`=> OM⊥BD`.