Cho ΔABC cân tại A, gọi D, E, M lần lượt là trung điểm là trung của AB, AC, BC. Gọi I là giao điểm của CD và BE. CMR: a. AD = CE, CD = BE b. DE // BC c, Ba điểm A, I, M thẳng hàng

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)D$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow AD=DB=\dfrac{AB}{2}$

$E$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow AE=EC=\dfrac{AC}{2}$

Mà $AB=AC(\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow AD=DB=AE=EC$

Xét $\Delta ADC$ và $\Delta AEB$

$AD=AE$

$\widehat{A}:$ chung

$AC=AB\\ \Rightarrow \Delta ADC = \Delta AEB (c.g.c)\\ \Rightarrow CD=BE\\ b)\Delta ADE, AD=AE$

$\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{D_1}= \widehat{E_1}\\ \Delta ADE, \widehat{A}+\widehat{D_1}+ \widehat{E_1}=180^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{A}+2\widehat{D_1}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2\widehat{D_1}=180^\circ-\widehat{A}\\ \Leftrightarrow \widehat{D_1}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}$

Tương tự với $\Delta ABC$ ta có $\widehat{ABC}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị so với $DE$ và $BC$

$\Rightarrow DE//BC\\ c)\Delta ADC = \Delta AEB\\ \Rightarrow \widehat{C_1}=\widehat{B_1}$

$\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}-\widehat{B_1}=\widehat{ACB}-\widehat{C_1}\\ \Leftrightarrow \widehat{B_2}=\widehat{C_2}$

$\Rightarrow \Delta BIC$ cân tại $I$

$\Rightarrow IM$ là trung tuyến đồng thời là đường cao $\Rightarrow IM \perp BC(1)$

$\Delta ABC$ cân tại $A, AM$ là trung tuyến đồng thời là đường cao $\Rightarrow AM \perp BC(2)$

$(1)(2) \Rightarrow A, I, M$ thẳng hàng.