Cho ΔABC cân tại A, gọi D, E, M lần lượt là trung điểm là trung của AB, AC, BC. Gọi I là giao điểm của CD và BE. CMR: a. AD = CE, CD = BE b. DE // BC c, Ba điểm A, I, M thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` cân tại `A => AB=AC`

mà `D` là trung điểm của `AB, E` là trung điểm của `AC`

`=> AD=DB=CE=AE`

Xét `ΔABE` và `ΔACD` có:

`AB=AC` (cmt)

`AE=AD` (cmt)

`\hat{BAC}`: góc chung

`=> ΔABE=ΔACD` (c.g.c)

`=> BE=CD` (2 cạnh tương ứng)

b) `ΔADE` có: `AD=AE` (cmt) `=> ΔADE` cân tại `A`

`=> \hat{ADE}=\hat{AED}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

`ΔABC` cân tại `A=> \hat{ABC}=\hat{ACB}= \frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

`=> \hat{AED}=\hat{ABC}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `DE` và `BC =>` $DE//BC$

c) `ΔABE=ΔACD` (cmt)

`=> \hat{DBI}=\hat{ECI}; \hat{AEB}=\hat{ADC}`

mà `\hat{AEB}+\hat{EIC}=180^0` (kề bù)

`\hat{ADC}+\hat{BDI}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{EIC}=\hat{BID}`

Ta có: `AB=AC; AD=AE => AB-AD=AC-AE => BD=CE`

Xét `ΔBDI` và `ΔCEI` có: 

`BD=CE` (cmt)

`\hat{EIC}=\hat{BID}` (cmt)

`\hat{DBI}=\hat{ECI}` (cmt)

`=> ΔBDI=ΔCEI` (g.c.g)

`=> DI=EI` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔADI` và `ΔAEI` có:

`AD=AE; DI=DE; AI`: cạnh chung

`=> ΔADI=ΔAEI` (c.c.c)

`=> \hat{DAI}=\hat{EAI}` (2 góc tương ứng)

`=> AI` là phân giác của `\hat{BAC}`   (1)

Xét `ΔABM` và `ΔACM` có:

`AB=AC`

`MB=MC` (`M` là trung điểm của `BC`)

`AM`: cạnh chung

`=> ΔABM=ΔACM` (c.c.c)

`=> \hat{BAM}=\hat{CAM}` (2 góc tương ứng)

`=> AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}`   (2)

Từ (1) và (2) `=> A, M, I` thẳng hàng.