Cho `ΔABC` cân tại `A` , `CD` là tia phân giác của `∠ACB` ( `D∈ AB` ) $DE//BC$ ( `E∈ AC`) . `M, N` là trung điểm của `DE` và `BC` . `BE` cắt `CD` tại `O`. Chứng minh: `b)` `BE` là tia phân giác của góc `ABC` `c)` `4` điểm `A,M,O,N` thẳng hàng

$\text{Đáp án + giải thích các bước giải}$

$\\$ Vì : `triangle ABC` cân tại `A` (gt) `=> {(AB = AC),(hat(ABC) = hat(ACB)):} (t//c)` 

$\\$ Vì : `DE //// BC` (gt) ` => {(hat(ADE) = hat(ABC)),(hat(AED) = hat(ACB)):} ` (2 góc đồng vị )

$\\$ `=> hat(ADE) = hat(AED) ` 

$\\$ `=> triangle  ADE` cân tại `A` (đn)

$\\$ `=> AD = AE ` (t/c)

$\\$ Suy ra : `AB - AD = AC - AE => BD = CE`

$\\$ Xét `triangle BDC` và `triangle CEB` có :
$\\$ `{(hat(DEC) = hat(ECB)(cmt)),(BC  chung),(BD = CE (cmt)):}` 

$\\$ `=> triangle BDC = triangle CEB` (c.g.c)

$\\$ `=> {(hat(DCB) = hat(EBC)  (1)),(hat(BDC) = hat(CEB)):}` (2 góc tương ứng)

$\\$ Xét `triangle BDO` và `triangle DCO` có :
$\\$ `hat(BDO) = hat(CEO) (cmt)     ;     hat(DOB) = hat(EOC)` (đối đỉnh)

$\\$ `=> hat(DBO) = hat(ECO)    (2)`

$\\$ Vì : `CD` là tia phân giác của `hat(ACB)` (gt) `=> hat(ACD) = hat(BCD) = hat(ACB)/2    (3)` (t/c)

$\\$ Từ : `(1);(2);(3) => hat(ABE) = hat(CBE)` 

$\\$ `=> BE` là tia phân giác của `hat(ABC)` (theo dhnb)

$\\$ `b)` Dễ dàng chứng minh được 2 tam giác `ANB = ANC`

$\\$ `=> AN bot BC` 

$\\$ Tam giác `OBC` cân tại `O => ON bot BC`

$\\$ Chứng minh `AM bot DE; DE //// BC to AM to BC`

$\\$ `=> A,M,O,N` thẳng hàng