Cho `\triangle` `ABC` cân tại `A` . Kẻ `BH` vuông góc với `AC` `(H \in AC)` , kẻ `CK` vuông góc với `AB` `(K \in AB)` . Chứng minh rằng: `a, AH = AK` `b, KH //// BC` `c, CK` cắt `BH` tại `O` . Chứng minh rằng `\triangle` `OBC` cân

a,

`\triangle AHB` và `\triangle AKC` có :

`hat{AHB}=hat{AKC}=90^o` (gt)

`AB=AC` (gt)

`hat{A}` chung

`->\triangle AHB=\triangle AKC` (ch-gn)

`->AH=AK` (2 cạnh tương ứng)

b,

`AH=AK` (cmt)

`->\triangle AHK` cân tại `A`

`->hat{AHK}=(180^o-hat{A})/2(1)`

`\triangle ABC` cân tại `A` (gt)

`->hat{ACB}=(180^o-hat{A})/2(2)`

`(1)(2)->hat{AHK}=hat{ACB}`

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$\to HK//BC$

c,

`\triangle AHB=\triangle AKC` (cmt)

`->hat{ABH}=hat{ACK}` (2 góc tương ứng)

`hat{ABH}+hat{OBC}=hat{ABC},hat{ACK}+hat{OCB}=hat{ACB}`

Mà `hat{ABH}=hat{ACK}` (cmt), `hat{ABC}=hat{ACB}` (gt)

`->hat{OBC}=hat{OCB}`

`->\triangle OBC` cân tại `O`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$

Xét $\Delta AKC$ và $\Delta AHB$

$\widehat{AKC}=\widehat{AHB}=90^\circ$

$\widehat{A}:$ chung

$AC=AB$

$\Rightarrow \Delta AKC = \Delta AHB$ (cạch huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AK=AH$

$b)\Delta AKH, AK=AH$

$\Rightarrow \Delta AKH$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{K_1}=\widehat{H_1}\\ \Delta AKH, \widehat{K_1}+\widehat{H_1}+\widehat{A}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2\widehat{K_1}+\widehat{A}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2\widehat{K_1}=180^\circ-\widehat{A}\\ \Leftrightarrow \widehat{K_1}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}(1)$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\\ \Delta ABC, \widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{A}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2 \widehat{ABC}+\widehat{A}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2 \widehat{ABC}=180^\circ-\widehat{A}\\ \Leftrightarrow \widehat{ABC}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2} (2)\\ (1)(2) \Rightarrow \widehat{K_1}= \widehat{ABC}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị so với $KH$ và $BC$

$\Rightarrow KH//BC\\ c) \Delta AKC = \Delta AHB\\ \Rightarrow\widehat{C_2}=\widehat{B_2}$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}-\widehat{B_2}=\widehat{ACB}-\widehat{C_2}$

$\Leftrightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

$\Delta OBC$ có $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại $O.$