Cho a và b là những số nguyên dương thỏa mãn ab + 1 chia hết cho a2 + b2 . Hãy chứng minh rằng: a2 + b2 / ab + 1 là bình phương của một số nguyên.

Đây là đề IMO của lớp 12, em cũng chưa chuyên sâu lắm nên chỉ làm theo ý hiểu thôi ạ

Đáp án:

Giả sử k không chính phương với k = $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$

=> $a^{2}$ - a(bk)+ $b^{2}$ - k = 0 (1)

Giả sử (A,B) là bộ nghiệm của (1) thỏa mãn A+B min

Giả sử x cũng là nghiệm (thay cho A) vào (1)

=> $x^{2}$- x(Bk) + $B^{2}$- k = 0 (2)

Khi đó $x_{1}$, $x_{2}$ là 2 nghiệm của (2) và $x_{1}$=A

Theo Viet => $x_{2}$ = $\frac{B^{2}-k}{A}$

$x_{2}$ > 0

Nếu $x_{2}$ = 0 => $B^{2}$ = k (vô lí với giả thiết)

Do đó $x_{2}$ < A > $x_{2}$ + B <A+B (mâu thuẫn)

Do A+B min 

nên k là số chính phương

Giải thích các bước giải:

      a2-b2= (a-b) (a2+ab+b2)

      ( a2+ab+b2)= { (a+b)2-ab}

      a2-b2= ( a-b)

                               -------------------Chúc em học tốt----------------------