Cho `a,b,c,d` là các số dương và `f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d` Biết `f(0)` và `f(1)` là các số lẻ. CMR: `f(x)` không có nghiệm nguyên
1 câu trả lời
$\textit{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$
Giả sử `f(x)` có nghiệm nguyên, gọi nghiệm nguyên đó là `k` thì
`=>f(k)=ak^3+bk^2+ck+d=0`
`f(0)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d` là số lẻ
`=>d` lẻ
`f(1)=a.1^3+b.1^2+c.1+d=a+b+c+d` là số lẻ
Nếu `k` lẻ
Xét `f(k)-f(1)=ak^3+bk^2+ck+d-a-b-c-d=a(k^3-1)+b(k^2-1)+c(k-1)`
Vì `k` lẻ nên `k^3-1,k^2-1,k-1` chẵn
`=>f(k)-f(1)` chẵn
Mà `f(k)-f(1)=f(0)-f(1)=-f(1)` lẻ (mâu thuẫn)
Nếu `k` chẵn
`f(k)=ak^3+bk^2+ck+d=k(ak^2+bk+c)+d` chẵn
Vì `k` chẵn nên `k(ak^2+bk+c)` chẵn
Mà `d` lẻ `=>k(ak^2+bk+c)+d` lẻ (mâu thuẫn)
Tóm lại đa thức `f(x)` không có nghiệm nguyên
