Cho A ={0,1,2,3,4,5,6,} có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lấy ở A thỏa mãn a, mỗi số xuất hiện nhiều nhất 1 lần và tổng các số là số chẵn . b, mỗi số xuất hiện nhiều nhất một lần vào chia hết cho 6

Giải thích các bước giải:

Gọi só tự nhiên có 3 chữ số là  \(\overline {abc} \,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

a,

Theo giả thiết ta có:

Mỗi số xuất hiện nhiều nhất 1 lần nên \(a \ne b \ne c\)

Tổng các chữ số là số chẵn nên ta có các TH sau:

TH1:  cả \(a,b,c\) đều là số chẵn.

Trong tập A có 4 số chẵn là \(0;2;4;6\)

Có 3 cách chọn cho chữ số \(a\)  (do \(a \ne 0\) )

Có 3 cách chọn cho chữ số \(b\)  (do \(b \ne a\) )

Có 2 cách chọn cho chữ số \(c\)   (do \(c \ne a \ne b\))

Do đó, số các số thỏa mãn ở TH này là \(3.3.2 = 18\)

TH2:   có 1 số chẵn và 2 số lẻ.

- Nếu chữ số chẵn đó là 0, có \(C_3^2 = 3\) cách chọn ra 2 số lẻ.

Suy ra số các số lập được là \(C_3^2.2.2.1 = 12\)

- Nếu chữ số chẵn đó khác 0, có \(C_3^1 = 3\) cách chọn ra  chữ số chẵn và có \(C_3^2 = 3\) cách chọn ra 2 số lẻ.

Suy ra số các số tạo được là \(C_3^1.C_3^2.3! = 54\)

Vậy số các số thỏa mãn là:          \(18 + 12 + 54 = 84\)

b,

Số chia hết cho 6 thì chia hết cho cả 2 và 3. Do đó, tổng các chữ số chia hết cho 3 và c là số chẵn.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
a \ne b \ne c \Rightarrow 0 + 1 + 2 \le a + b + c \le 4 + 5 + 6 \Leftrightarrow 3 \le a + b + c \le 15\\
TH1:\,\,\,a + b + c = 3
\end{array}\)

Suy ra \(a + b + c = 0 + 1 + 2\) 

\( + )\,\,c = 0\), có \(2.1 = 2\) số.

\( + )\,\,\,c = 2\), có \(1.1 = 1\) số.

Các TH sau xét tương tự như trên:

\(\begin{array}{l}
TH2:\,\,\,a + b + c = 6\\
6 = 0 + 1 + 5 = 0 + 2 + 4 = 1 + 2 + 3\\
TH3:\,\,\,a + b + c = 9\\
9 = 0 + 3 + 6 = 0 + 4 + 5 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4\\
TH4:\,\,\,a + b + c = 12\\
12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5\\
TH5:\,\,\,\,a + b + c = 15 = 4 + 5 + 6
\end{array}\)