Bài 7: Cho △ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc BC (HBC ). Kẻ HD vuông góc AB (D thuộc AB), kẻ HE vuông góc AC (E thuộc AC). a/ Chứng minh △BHD = △CHE. b/ Chứng minh AH là đường trung trực của DE. c/ Trên tia đối của tia HD lấy điểm F sao cho HF = HD. Chứng minh △EDF vuông p/s: gt kl + hình nhé

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{c|l} GT &\Delta ABC, AB=AC,AH \perp BC(H \in BC),\\&HD \perp AB(D \in AB),HE \perp AC(E \in AC) \\\hline KL&a)\Delta BHD=\Delta CHE\\&b)AH\text{ là trung trực }DE\\&c)\Delta EDF \text{ vuông}\end{array}$

$a)\Delta ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow AH$ đồng thời là trung trực $BC$

$\Rightarrow H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow HB=HC$

$\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat{B}= \widehat{C}$

Xét $ \Delta BHD$ và $\Delta CHE$

$\widehat{BDH}=\widehat{CEH}=90^\circ\\ \widehat{B}= \widehat{C}\\ BH=CH$

$\Rightarrow \Delta BHD  = \Delta CHE$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$b) \Delta BHD  = \Delta CHE $

$\Rightarrow BD=CE$

Mà $AB=AC$

$\Rightarrow AB-BD=AC-CE$

$\Leftrightarrow AD=AE$

$\Rightarrow \Delta ADE$ cân tại $A$

$\Delta ABC$ cân tại $A$, đường cao $AH$

$\Rightarrow AH$ đồng thời là phân giác $\widehat{BAC}$ hay $AH$ là phân giác $\widehat{DAE}$

$\Delta ADE$ cân tại $A, AH$ là phân giác $\widehat{DAE} $

$\Rightarrow AH$ đồng thời là trung trực $DE$

$c)AH$ là trung trực $DE$

$\Rightarrow HD=HE$

$\Rightarrow \Delta HDE$ cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{E_1}$

$HF = HD mà $HD=HE$

$\Rightarrow HF=HE$

$\Rightarrow \Delta HEF$ cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{F_1}\\ \Delta DEF, \widehat{D_1}+ \widehat{DEF}+\widehat{F_1}=180^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{E_1}+ \widehat{DEF}+\widehat{E_2}=180^\circ\\ \Leftrightarrow 2\widehat{DEF}=180^\circ\\ \Leftrightarrow \widehat{DEF}=90^\circ$

$\Rightarrow \Delta DEF$ vuông tại $E.$