Bài 6: Cho △ABC nhọn. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ AD // BM, AD = BM (điểm M và D nằm khác phía đối với AB). Gọi I là trung điểm của AB. a/ Chứng minh D, I, M thẳng hàng. b/ Chứng minh BD = AM, AM // BD. c/ Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh EC // BD.

a)

Xét $\Delta IAD$ và $\Delta IBM$, ta có:

$IA=IB$ ($I$ là trung điểm $AB$)

$\widehat{IAD}=\widehat{IBM}$ ($AD//BM$,hai góc so le trong)

$AD=BM\left( gt \right)$

$\Rightarrow \Delta IAD=\Delta IBM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{AID}=\widehat{BIM}$

Mà $\widehat{AID}+\widehat{BID}=180{}^\circ $

Nên $\widehat{BIM}+\widehat{BID}=180{}^\circ $

Do đó $\widehat{DIM}=180{}^\circ $

Hay nói cách khác, ba điểm $D,I,M$ thẳng hàng

b)

Xét $\Delta IBD$ và $\Delta IAM$, ta có:

$IB=IA$ ($I$ là trung điểm $AB$)

$\widehat{BID}=\widehat{AIM}$ (hai góc đối đỉnh)

$ID=IM$ (vì $\Delta IAD=\Delta IBM$)

Nên $\Delta IBD=\Delta IAM\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\widehat{IAM}$ và $BD=AM$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Do đó $BD//AM$

c)

Ta có

$AE=AD\left( gt \right)$

$AD=BM\left( gt \right)$

$BM=CM$ ($M$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow AE=CM$

Xét $\Delta AEC$ và $\Delta CMA$, ta có:

$AC$ là cạnh chung

$\widehat{EAC}=\widehat{MCA}$ (vì $AE//MC$, hai góc so le trong)

$AE=CM\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AEC=\Delta CMA\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{ACE}=\widehat{CAM}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AM//EC$

Mà $BD//AM$ (chứng minh câu b)

Vậy $EC//BD$