Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A.(AC> AB). Kẻ AH vuong goc voi BC. Trên BC lấy điểm D sao cho HD = HB. Kẻ CE vuông góc với AD kéo dài. Chứng minh: a)Tam giác BAD cân. b)ABD̂=CDÊ. c)CE là phân giác của góc ACE. d)Gọi giao điểm của AH và CE là K. Chứng minh: ∆CAKcân tại C. e)Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tam giác CAK đều? anh chị giúp em nốt ạ em siu cảm ơn ạ

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔADH vuông tại H có:

BH=DH ( Giả thuyết )

AH : cạnh chung

⇒ΔABH=ΔADH ( Hai cạnh góc vuông )

⇒AB=AD ( 2 cạnh tương ứng )

⇒ΔBAD cân tại A

b)Ta có ΔBAD cân tại A

⇒$\widehat{ABD}$=$\widehat{ADB}$

Mà $\widehat{ADB}$=$\widehat{CDE}$ ( Đối đỉnh )

⇒$\widehat{ABD}$=$\widehat{CDE}$

c) Ta có $\widehat{ACB}$+$\widehat{ADC}$=$90^o$(1)

Mà$\begin{cases} $\widehat{ABC}$=$\widehat{ADB}$ ( ΔBAD cann tại A )\\$\widehat{ADB}$=$\widehat{EDC}$ ( Đối đỉnh )\end{cases}$

⇒$\widehat{ABC}$=$\widehat{EDC}$(2)

Lại có: $\widehat{EDC}$+$\widehat{ECD}$=$90^o$(3)

Từ (1),(2),(3)⇒$\widehat{ACH}$=$\widehat{KCH}$

⇒CD là phân giác của góc ACE

d) Xét ΔACH vuông tại H và ΔKCH vuông tại H có:

$\widehat{ACH}$=$\widehat{KCH}$ ( cmt )

CH:cạnh chung

⇒ΔACH=ΔKCH (cạnh góc vuông-gọc nhọn )

⇒KC=AC (2 cạnh tương ứng)

⇒ΔACK cân tại C

e)ΔABC cần điều kiện:AB=AC để ΔACK đều

Giải thích các bước giải:

a )

Xét `ΔABH` và `ΔACH` có :

`hat{AHB}` = `hat{AHD}` = `90^o` ( `AH⊥BC` )

`AH` cạnh chung

`BH` = `DH` ( gt )

`⇒` `ΔABH` = `ΔACH` ( 2 cạnh góc vuông )

`⇒` `AB` = `AD` ( 2 cạnh tương ứng ) `↔` `ΔBAD` cân tại `A`

b )

Ta có :

`hat{ABD}` = `hat{ADB}` ( `ΔBAD` cân tại `A` ( cmt ))

Mà : `hat{ADB}` = `hat{CDE}` ( đối đỉnh )

`⇒` `hat{ABD}` = `hat{CDE}` 

c )

Sửa lại là `CD`

- Trên cạnh `AC` tại `C` lấy điểm `M` sao cho `CN` = `CE` và `DN⊥AC`

Xét `ΔCDN` và `ΔCDE` có :

`hat{DNC}` = `hat{DEC}` = `90^o` ( tự cho )

`CN` = `CE` ( tự cho )

`CD` cạnh chung

`⇒` `ΔCDN` = `ΔCDE` ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

`⇒` `hat{NCD}` = `hat{ECD}` ( 2 góc tương ứng )

`⇒` `CD` là phân giác `hat{NCE}`

Mà : `N∈AC` ( tự cho )

`⇒` `CD` là phân giác `hat{ACE}`

d )

Xét `ΔACH` và `ΔKCH` có :

`hat{AHC}` = `hat{KHC}` = `90^o` ( gt )

`hat{ACH}` = `hat{KCH}` ( `CD` là phân giác `hat{ACE}` )

`HC` cạnh chung

`⇒` `ΔACH` = `ΔKCH` ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề )

`⇒` `AC` = `AK` ( 2 cạnh tương ứng ) `↔` `ΔCAK` cân tại `A`

e )

Nếu `ΔCAK` là `Δ` đều thì ta có :

`AC` = `AK` = `CK`

Vậy điều kiện còn thiếu của `ΔABC` là :

`AN` = `CN` = `AH` = `1/2``AC`