Bài 5:Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. a) Chứng minh tam giác AHB=AHC. b) Từ H vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. Chứng minh HE = HF c) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại K. Chứng minh K là trung điểm của AC

a) Ta có: `ΔABC` cân tại A `=> hat{B} = hat{C} ; AB = AC`

Xét `ΔABH` và `ΔACH` có:

`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`

AB = AC

`hat{B} = hat{C}`

`=> ΔABH = ΔACH` (cạnh huyền - góc nhọn)   (đpcm)

b) Xét `ΔBEH` và `ΔCFH` có:

`hat{BEH} = hat{CFH} = 90^o`

BH = CH (vì `ΔABH = ΔACH`)

`hat{B} = hat{C}`

`=> ΔBEH = ΔCFH` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> EH = FH`   (đpcm)

c) Ta có: AB // HK `=> hat{B} = hat{CHK}` (2 góc đồng vị)

Vì `hat{B} = hat{C}` nên `hat{C} = hat{CHK}`

`=> ΔCHK` cân tại K

`=> CK =HK`  (1)

Lại có: `hat{CAH} + hat{C} = 90^o` (vì `ΔACH` vuông tại H)

`hat{AHK} + hat{CHK} = hat{AHC} = 90^o`

`hat{C} = hat{CHK}`

`=> hat{CAH} = hat{AHK} => hat{HAK} = hat{AHK} => ΔAHK` cân tại K `=>` AK = HK  (2)

Từ (1), (2) `=> AK = CK =>` K là trung điểm của AC   (đpcm)

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` cân tại `A => AB=AC`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có:

`\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^0 (AH⊥BC)`

`AB=AC` (cmt)

`AH`: cạnh chung

`=> ΔAHB=ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) `ΔAHB=ΔAHC` (cmt)

`=> \hat{A_1}=\hat{A_2}` (2 góc tương ứng)

Xét `ΔAEH` và `ΔAFH` có:

`\hat{AEH}=\hat{AFH}=90^0 (HE⊥AB; HF⊥AC)`

`AH`: cạnh chung

`\hat{A_1}=\hat{A_2}` (cmt)

`=> ΔAEH=ΔAFH` (cạnh huyền - góc nhọn)

`=> HE=HF` (2 cạnh tương ứng)

c) `ΔABC` cân tại `A => \hat{B}=\hat{C}`

Ta có: $HK//AB$ `=> \hat{B}=\hat{KHC}` (đồng vị)

`=> \hat{C}=\hat{KHC}`

`=> ΔKHC` cân tại `K => KH=KC`   (1)

$HK//AB$ `=> \hat{A_1}=\hat{AHK}` (so le trong)

mà `\hat{A_1}=\hat{A_2}` (cmt)

`=> \hat{A_2}=\hat{AHK}`

`=> ΔHAK` cân tại `K => KA=KH`   (2)

Từ (1) và (2) `=> KC=KA `

`=> K` là trung điểm của `AC`