Bài 4.Cho ABC vuông tại A,.Kẻ đường phân giác BI (I AC) , kẻ ID vuông góc với BC (D BC). a/ Chứng minh AIB = DIB c/ Chứng minh BI vuông góc AD d/ Gọi E là giao điểm của BA và DI. Chứng minh AD// EC e)Chứng minh EIC cân

Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔAIB` và `ΔDIB` có:

`\hat{BAI}=\hat{BDI}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; ID⊥BC)`

`BI`: cạnh chung

`\hat{ABI}=\hat{DBI}` (`BI` là phân giác của `\hat{BAC}`)

`=> ΔAIB=ΔDIB` (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Gọi giao điểm của `BI` và `AD` là `K`

  `ΔAIB=ΔDIB` (cmt) `=> AB=BD`

Xét `ΔABK` và `ΔDBK` có:

`AB=DB` (cmt)

`\hat{ABK}=\hat{DBK}` (`BI` là phân giác của `\hat{BAC}; K∈BI`)

`BK`: cạnh chung

`=> ΔABK=ΔDBK` (c.g.c)

`=> \hat{AKB}=\hat{DKB}`

mà `\hat{AKB}+\hat{DKB}=180^0` (kề bù)

`=>\hat{AKB}=\hat{DKB}=90^0`

`=> BK⊥AD => BI⊥AD`

d) Gọi giao điểm của `BI` và `EC` là `H`

`ΔAIB=ΔDIB` (cmt) `=> IA=ID`

Xét `ΔAIE` và `ΔDIC` có:

`\hat{EAI}=\hat{CDI}=90^0` (`ΔABC` vuông tại `A, E∈AB; ID⊥BC`)

`IA=ID` (cmt)

`\hat{AIE}=\hat{DIC}` (đối đỉnh)

`=> ΔAIE=ΔDIC` (g.c.g) `=> AE=DC`

lại có `AB=BD` (cmt) 

`=> AB+AE=BD+DC => BE=BC`

Xét `ΔEBH` và `ΔCBH` có:

`BE=BC` (cmt)

`\hat{EBH}=\hat{CBH}` (`BI` là phân giác của `\hat{BAC}, E∈AB; H∈BI`)

`BH`: cạnh chung

`=> ΔEBH=ΔCBH` (c.g.c)

`=> \hat{EHB}=\hat{CHB}`

mà `\hat{EHB}+\hat{CHB}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{EHB}=\hat{CHB} =90^0`

`=> BH⊥EC => BI⊥EC (H∈BI)`

mà `BI⊥AD` (cmt)`=>` $AD//EC$

e) `ΔAIE=ΔDIC` (cmt)

`=> IE=IC` 

`=> ΔEIC` cân tại `I`.