Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a)Chứng minh tam giác ABM=ACM b)Kẻ ME vuông góc AB tại E, ME vuông góc AC tại F. Chứng minh AE = AF. c)Chứng minh EF// BC. d)Từ C kẻ đường thẳng song song với AM cắt tia BA tại D. Chứng minh A là trung điểm của BD.

Đáp án:

a) $\triangle ABM=\triangle ACM$

b) $AE=AF$

c) $EF//BC$

d) A là trung điểm của BD

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle ACM$:

$AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$AM$: chung

$MB=MC$ (gt)

$\to\triangle ABM=\triangle ACM$ (c.c.c)

$\to\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (2 góc tương ứng)

$\to\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (2 góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o$ (kề bù)

$\to\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\\\to AM\bot BC$

b)

Xét $\triangle AEM$ và $\triangle AFM$:

$\widehat{AEM}=\widehat{AFM}\,\,\,(=90^o)$

$AM$: chung

$\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\,\,\,(\widehat{BAM}=\widehat{CAM})$

$\to\triangle AEM=\triangle AFM$ (ch - gn)

$\to AE=AF$ (2 cạnh tương ứng)

c)

Ta có: $AE=AF$ (cmt)

$\to\triangle AEF$ cân tại A

$\to\widehat{AEF}=\widehat{AFE}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{EAF}+\widehat{AEF}+\widehat{AFE}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{EAF}+2\widehat{AFE}=180^o\,\,\,(1)$

$\triangle ABC$ cân tại A (gt)

$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{BAC}+2\widehat{ACB}=180^o\,\,\,(2)$

Từ (1), (2) $\to\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to EF//BC$

d)

Ta có: $CD//AM$ (gt), $AM\bot BC$ (cmt)

$\to BC\bot CD$

$\to\triangle BCD$ vuông tại C

$\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

hay $\widehat{ABC}+\widehat{BDC}=90^o$

$\to\widehat{ACB}+\widehat{BDC}=90^o$

$BC\bot CD$ (cmt)

$\to\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=90^o$

$\to\widehat{BDC}=\widehat{ACD}$

Hay $\widehat{ADC}=\widehat{ACD}$

$\to\triangle ACD$ cân tại A

$\to AC=AD$

Mà $AB=AC$ (2 cạnh bên của tam giác cân)

$\to AB=AC=AD$

$\to$ A là trung điểm của BD