Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a)Chứng minh . b)Kẻ tại E, tại F. Chứng minh AE = AF. c)Chứng minh EF// BC. d)Từ C kẻ đường thẳng song song với AM cắt tia BA tại D. Chứng minh A là trung điểm của BD.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC, \widehat{B}=\widehat{C}$

$M$ là trung điểm $BC \Rightarrow BM=CM$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$

$AB=AC\\ \widehat{B}=\widehat{C}\\ BM=CM\\ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM\\ b)\Delta ABM = \Delta ACM\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Xét $\Delta AEM$ và $\Delta AFM$

$\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^\circ$

$AM:$ chung

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \Delta AEM = \Delta AFM$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AE =AF$

$c)\Delta AEF,AE =AF$

$\Rightarrow \Delta AEF$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{E_1}=\dfrac{180^\circ-\widehat{EAF}}{2}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}(1)$

$\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{B}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}{2}(2)$

$(1)(2) \Rightarrow \widehat{E_1}= \widehat{B}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị so với $EF$ và $BC$

$\Rightarrow EF//BC$

$d)CD //AM$

$\Rightarrow \widehat{A_1}= \widehat{D}$ (đồng vị)

$\widehat{A_2}= \widehat{C_1}$ (so le trong)

Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$\Rightarrow \widehat{D} = \widehat{C_1}$

$\Delta ADC$ có $\widehat{D} = \widehat{C_1}$

$\Rightarrow \Delta ADC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AD=AC$

Mà $AC=AB$

$\Rightarrow AD=AB$

$\Rightarrow A$ là trung điểm của $BD.$