6. Cho tam giac ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Trên đoạn thẳng MC lấy điểm E, kẻ BH và CK thứ tự vuông góc AE tại H và E. Chứng minh: a. AM vuông góc BC. b. BH = AK. c. Hai tam giác MBH và MAK bằng nhau

Giải thích các bước giải:

`6.`

`a)`

Xét `ΔAMB` và `ΔAMC` có :

`AM` cạnh chung

`AB=AC` ( `ΔABC` cân tại `A` )

`hat{ABM}` = `hat{ACM}` ( `ΔABC` cân tại `A` )

`AM` cạnh chung

`⇒` `ΔAMB=ΔAMC(c.g.c)`

`⇒` `hat{AMB}` = `hat{AMC}` ( 2 góc tương ứng )

Mà : `hat{AMB}` + `hat{AMC}` = `180^o` ( kề bù )

`⇒` `hat{AMB}` = `hat{AMC}` = `(180^o)/2` = `90^o`

`⇒` `AM⊥BC` ( đpcm )

`b)`

Ta có :

`hat{ABH}` + `hat{BAH}` = `90^o` ( gt )

`hat{CAH}` + `hat{BAH}` = `90^o` ( gt )

Mà : 

- Cả 2 tổng đều `90^o`

- `hat{BAH}` góc chung

`⇒` `hat{ABH}` = `hat{CAH}`

Xét `ΔABH` và `ΔCAK` có :

`hat{AHB}` = `hat{AKC}` = `90^o`

`AB=AC` ( `ΔABC` vuông cân tại `A` )

`hat{ABH}` = `hat{ACH}` `(cmt)`

`⇒` `ΔABH=ΔCAK` ( cạnh huyền - góc nhọn )

`⇒` `BH=AK` ( 2 cạnh tương ứng )( đpcm )

`c)`

Ta có :

`BH⊥AE` ( gt )

`CK⊥AE` ( gt )

`⇒` `BH` // `CK` ( tiên đề ` Ơ-cơ-lít ` )

`⇒` `hat{HBM}` = `hat{MCK}` ( so le trong ) ( 1 )

Mặt khác ta có :

`hat{MAE}` + `hat{AEM}` = `90^o` ( 2 )

`hat{MCK}` + `hat{CEK}` = `90^o` ( 3 )

Và :

`hat{AEM}` = `hat{CEK}` ( đối đỉnh )( 4 )

Từ ( 2 ) ; ( 3 ) và ( 4 ) suy ra :

`⇒` `hat{MAE}` = `hat{MCK}` ( 5 )

Từ ( 1 ) và ( 5 ) suy ra :

`hat{HBM}` = `hat{MAE}` 

Theo đề ta có : 

`BM=CM` ( `M` là trung điểm `BC` )

`ΔABC` vuông cân tại `A`

`⇒` `AM` là trung tuyến `ΔABC`

*Giải thích : Trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh đó.

`⇒` `AM=BM=CM=1/2BC`

Xét `ΔMBH` và `ΔMAK` có :

`AM=BM(cmt)`

`hat{HBM}` = `hat{MAK}` `(cmt)`

`BH=AK(cmt)`

`⇒` `ΔMBH=ΔMAK(c.g.c)`