4(sin^2x+1/sin^2x)+4(sinx+1/sinx)-7=0

Bạn xem hình

Đáp án:

$x=\left\{{-\dfrac{\pi}6+k2\pi;\dfrac{7\pi}6+k2\pi}\right\}$ $(k\in\mathbb Z)$

Lời giải:

$\eqalign{ & 4\left( {{{\sin }^2}x + {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) + 4\left( {\sin x + {1 \over {\sin x}}} \right) - 7 = 0\,\,\left( {x \ne k\pi } \right) \cr & \text{Đặt }t = \sin x + {1 \over {\sin x}} \cr & \Rightarrow {t^2} = {\sin ^2}x + {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 2 \Rightarrow {\sin ^2}x + {1 \over {{{\sin }^2}x}} = {t^2} - 2 \cr & \text{Phương trình: }4\left( {{t^2} - 2} \right) + 4t - 7 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{t^2} + 4t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = {3 \over 2} \hfill \cr t = - {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & t = {3 \over 2} \Leftrightarrow \sin x + {1 \over {\sin x}} = {3 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 3\sin x + 2 = 0\,\,\left( {\text{vô nghiệm}} \right) \cr & t = - {5 \over 2} \Leftrightarrow \sin x + {1 \over {\sin x}} = - {5 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = - {1 \over 2} \hfill \cr \sin x = - 2\,\,\left( {\text{loại}} \right) \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} $

Vậy phương trình có nghiệm:

$x=\left\{{-\dfrac{\pi}6+k2\pi;\dfrac{7\pi}6+k2\pi}\right\}$ $(k\in\mathbb Z)$.