29 tìm số nguyên tố p sao cho p^2+23 có đúng 6 ước dường 31 tìm cá số nguyên tố p thỏa mãn 2^p+p^2 là số nguyên tố 32 tìm 3 số nguyên tố x,y,z thỏa mãn x^y+1=z có trình bày cho 5 sao

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `29)`

Vì `6 = 1*6 = 2*3`

`=> p^2 + 23` có dạng `x*y^2` hoặc `z^5(x;y;z` là số nguyên tố`)`

`+` Với `p = 2 => p^2 + 23 = 27 = 3^3(L)`

`+` Với `p = 3 => p^2 + 23 = 32 = 2^5(tm)`

`+` Với `p > 3 => p` $\not\vdots 3;p$ là số lẻ.

          `=> p^2` $\not\vdots 2;3$

         Mà `p^2` là số chính phương.

         `=> p^2` chia `2;3` dư `1`

        `=> p^2 + 23 vdots 2;3`

        `o+` Với `p^2+23 = 2*3^2 => p^2 + 23 = 18`

               Mà `p^2 + 23 >= 23(L)`

         `o+` Với `p^2 + 23 = 3*2^2 => p^2 + 23 = 12(L)`

Vậy `p=3`

`31)` 

`+` Với `p = 2 => 2^p + p^2 = 4 + 4 = 8(L)`

`+` Với `p = 3 => 2^p + p^2 = 8 + 9 = 17(tm)`

`+` Với `p > 3 => p` $\not\vdots 3;p$ là số lẻ.

       Vì `2 -= -1(mod 3) => 2^p -= -1(mod 3)`

       Vì `p` $\not\vdots 3$ `=> p^2` $\not\vdots 3$

       Mà `p^2` là số chính phương

        `=> p^2-=1(mod 3)`

        `=> 2^p + p^2 -= 0(mod 3)`

        `=> 2^p + p^2 vdots 3`

        Mà `2^p + p^2 > 2^3 + 3^2 > 3`

        `=> 2^p + p^2` là hợp số `(L)`

Vậy `p = 3`

`32)`

`+` Với `x = 2`

    `o+` Với `y = 2 => x^y + 1 = 5 => z= 5(tm)`

     `o+` Với `y > 2 => y` là số lẻ.

            Mà `x -= -1(mod 3) => x^y -= -1(mod 3)`

             `=> x^y + 1 -= 0(mod 3)`

             `=> x^y + 1 vdots 3.` Mà `x^y + 1 > 2^2+1 > 3(L)`

`+` Với `x > 2 => x` là số lẻ `=> x^y` là số lẻ `=> x^y + 1` là số chẵn

    `=> z` là số nguyên tố chẵn `=> z = 2`

    `=> x^y = 1 => y = 0(L)`

Vậy `x = 2; y = 2; z = 5`