Câu hỏi:
2 năm trước
Số nghiệm của phương trình $\sin 5 x+\sqrt{3} \cos 5 x=2 \sin 7 x$ trên khoảng $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng:
4
Phương trình
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \sin 5 x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x=\sin 7 x\\ \Leftrightarrow \sin \left(5 x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin 7 x$
$\Leftrightarrow \sin 7 x=\sin \left(5 x+\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}7 x=5 x+\dfrac{\pi}{3}+k 2 \pi \\ 7 x=\pi-\left(5 x+\dfrac{\pi}{3}\right)+k 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{6}+k \pi \\ x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k \pi}{6}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Xét khoảng $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ :
+) $0<\dfrac{\pi}{6}+k \pi<\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\dfrac{1}{6}<k<\dfrac{1}{3} \stackrel{k \in \mathbb{Z}}{\longrightarrow} k=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}$
+) $0<\dfrac{\pi}{18}+k \dfrac{\pi}{6}<\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\dfrac{1}{3}<k<\dfrac{8}{3} \stackrel{k \in \mathbb{Z}}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{l}k=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{18} \\ k=1 \Rightarrow x=\dfrac{2 \pi}{9} . \\ k=2 \Rightarrow x=\dfrac{7 \pi}{18}\end{array}\right.$
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\):\(a.\sin x + b.\cos x = c\).
+) Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+) Đặt \(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \); \(\dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \)
Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản
+) Sử dụng công thức
\(\sin x.\cos \alpha + \cos x.\sin \alpha = \sin \left( {x + \alpha } \right)\)
\(\cos \alpha = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)
\(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\)
Bước 3: Tìm k trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\), từ đó tìm x.
