Câu hỏi:
2 năm trước
Giải phương trình \(4\sin x\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos 3x = 1\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(\begin{array}{l}
4\sin x\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos 3x = 1\\
\Leftrightarrow 4\sin x.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)\left[ {\cos \left( {2x + \pi } \right) - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right] + \cos 3x = 1\\
\Leftrightarrow - 2\sin x\left( { - \cos 2x - \dfrac{1}{2}} \right) + \cos 3x = 1\\
\Leftrightarrow 2\sin x\cos 2x + \sin x + \cos 3x = 1\\
\Leftrightarrow \sin 3x - \sin x + \sin x + \cos 3x = 1\\
\Leftrightarrow \sin 3x + \cos 3x = 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\
3x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\\
x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là:
\(\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\\
x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\sin b = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]\), \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\), \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).
- Giải phương trình lượng giác dạng \(a\sin x + b\cos x = c\).
