Cho phương trình: $4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) - 8\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$ trong đó $m$ là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

Ta có:

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$$ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x$\( = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x\)

${\sin ^6}x + {\cos ^6}x$$ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}$$ - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$ = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x$\( = \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x\)

Phương trình đã cho trở thành

$4\left( {\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x} \right) - 8\left( {\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4x} \right) - 4{\sin ^2}4x = m$

\( \Leftrightarrow 3 + \cos 4x - 5 - 3\cos 4x - 4\left( {1 - {{\cos }^2}4x} \right) = m\)

\( \Leftrightarrow 4{\cos ^2}4x - 2\cos 4x = m + 6\)

Đặt \(t = \cos 4x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), phương trình trở thành \(4{t^2} - 2t = m + 6\,\,\left( * \right)\)

Phương trình đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = 4{t^2} - 2t\) trong đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) có:

Đồ thị của \(f\left( t \right)\) là parabol có hoành độ đỉnh \(t = \dfrac{1}{4} \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \(\left( * \right)\) không có nghiệm thuộc \(\left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}m + 6 <  - \dfrac{1}{4}\\m + 6 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{{25}}{4}\\m > 0\end{array} \right.\).

Vậy \(m <  - \dfrac{{25}}{4}\) hoặc \(m > 0\).