tìm tất cả các số nguyên dương `(x;y)` sao cho `(x^2-2)/(xy+2)` là số nguyên

Đặt `A=(x^2-2)/(xy+2)`

`A\in ZZ^+`

`->x^2-2\vdots xy+2`

`-> y(x^2-2)\vdots xy+2`

`-> x^2y-2y\vdots xy+2`

`-> x^2y +2x-2x-2y\vdots xy+2`

`->x(xy+2)-2(x+y)\vdots xy+2`

Do `x(xy+2)\vdots xy+2`

`->2(x+y)\vdots xy+2`

Do đó thì `2(x+y)=m(xy+2)(m\in ZZ^+)`

Do đó `m>0`

giả sử với `m>= 4`

`-> m(xy+2)>= 4 (xy+2)`

`>= 4xy+8`

`>= 2xy+2xy+8`

Do `x,y` nguyên dương nên `2xy >2x, 2xy>2y`

`->m(xy+2)> 2x+2y+8=2(x+y)+8>2(x+y)` (Vô lí với giả sử)

Thật vậy `m=1,m=2,m=3` (Thỏa mãn)

$\bullet$ `m=1`

`-> 2(x+y)=xy+2`

`->xy+2-2x-2y=0`

`-> x (y-2) - 2 (y-2)=2`

`->(x-2)(y-2)=2=2.1=1.2=(-2).(-1)=(-1).(-2)`

TH1 : `x-2=2, y-2=1`

`->x=4, y=3` (Tm)

TH2 : `x-2=1,y-2=2`

`->x=3,y=4` (Tm)

TH3 : `x-2=-2, y-2=-1`

`->x=0, y=1` (Tm)

TH4 : `x-2=-1,y-2=-2`

`-> x=1, y=0` (Tm)

Vậy với `m=1` ta được các cặp `(x;y)` nguyên dương `(4;3), (3;4), (0;1), (1;0)`

Thử từng cặp ta thấy `(x;y)=(4;3)` thỏa mãn

$\bullet$ `m=2`

`-> 2(x+y)=2xy+4`

`->x+y=xy+2`

`->xy+2-x-y=0`

`->x(y-1) -(y-1)=-1`

`->(x-1)(y-1)=-1` (Loại do `x,y>0`)

$\bullet$ `m=3`

`->2(x+y)=3xy+6`

`->3xy+6-2x-2y=0`

`->x (3y-2) - 2 (3y-2)=0`

`-> (x-2)(3y-2)=0` (Loại do `x,y>0`)

Vậy cặp `(x;y)` nguyên dương thỏa mãn duy nhất là `(4;3)`