tìm gtnn của 2x^2+3y^2+4xy-8y+6x+3 mk đang cần gấp mn ơiii giúp mk vs ạ

Đáp án:

 $P_{min}=-\dfrac{101}{2}$ khi $(x;y)=\left(-\dfrac{17}{2};7 \right)$

Giải thích các bước giải:

 Đặt $P=2x^2+3y^2+4xy-8y+6x+3$

Ta có:

$P=2(x^2+2xy+y^2)+6(x+y)+y^2-14y+3$

$P=2(x+y)^2+6(x+y)+\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{2}+y^2-14y+49-49+3$

$P=2\left((x+y)^2+3(x+y)+\dfrac{9}{4}\right)+(y-7)^2-\dfrac{101}{2}$

$P=2\left( x+y+\dfrac{3}{2}\right)^2+(y-7)^2-\dfrac{101}{2}$

Do $2\left(x+y+\dfrac{3}{2} \right) \geq 0$ và $(y-7)^2 \geq 0$ với mọi $x;y$

$⇒P \geq -\dfrac{101}{2}$

Vậy $P_{min}=-\dfrac{101}{2}$ khi $\begin{cases}x+y+\dfrac{3}{2}=0\\y-7=0 \end{cases}$$⇒\begin{cases}x=-\dfrac{17}{2}\\y=7 \end{cases}$