Chứng minh các số nguyên là số nguyên tố cùng nhau

a) 14n+3 và 21n+4

b) 2n+5 và 3n+7

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/

Gọi `d = ƯCLN(14n+3 ; 21n+4)`

`-> 14n+3 \vdots d`  và `21n+4 \vdots d`

`-> 3(14n+3) = 42n+9 \vdots d` và `2(21n+4) = 42n+8 \vdots d`

`-> (42n+9)-(42n+8) \vdots d`

`-> d \in Ư(1)={\pm 1}`

`-> ƯCLN(14n+3 ; 21n+4) ={\pm 1}`

`-> 14n+3` và `21n+4` là `2` số nguyên tố cùng nhau.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

b/

Gọi `d=ƯCLN(2n+5 ; 3n+7)`

`->2n+5 \vdots 7` và `3n+7 \vdots d`

`-> 3(2n+5) = 6n+15 \vdots d` và `2(3n+7) = 6n+14 \vdots d`

`-> (6n+15)-(6n+14) \vdots d`

`-> 1 \vdots d`

`-> d \in Ư(1)={\pm 1}`

`-> ƯCLN(2n+5 ; 3n+7) ={\pm 1}`

`-> 2n+5` và `3n+7` là `2` số nguyên tố cùng nhau.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Đáp án:

 a) gọi d là ƯC ( 14n + 3 và 21n + 4 )
⇒ 14n + 3 $\vdots$ d và 21n + 4 $\vdots$ d
⇒ 3 . ( 14n + 3 ) $\vdots$ d và 2 . ( 21n + 4 ) $\vdots$ d
⇒ 3 . ( 14n + 3 ) `-` 2 . ( 21n + 4 ) $\vdots$ d
⇒ 42n + 9 `-` 42n `-` 8
= 1 $\vdots$ d ⇒ d = 1 ; `-1`
vậy 14n + 3 và 21n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau

b) gọi d là ƯC ( 2n + 5 và 3n + 7 )
⇒ 2n + 5 $\vdots$ d và 3n + 7 $\vdots$ d
⇒ 3 . ( 2n + 5 ) $\vdots$ d và 2 . ( 3n + 7 ) $\vdots$ d
⇒ 3 . ( 2n + 5 ) `-` 2 . ( 3n + 7 ) $\vdots$ d
⇒ 6n + 15 `-` 6n `-` 14 
= 1 $\vdots$ d ⇒ d = 1 ; `-1`
vậy 2n + 5 và 3n + 7 là các số nguyên tố cùng nhau

Giải thích các bước giải: