$\frac{2^{2} }{1.3}$ +$\frac{3^{2} }{2.4}$ +$\frac{4^{2} }{3.5}$ +...+$\frac{2016^{2} }{2015.2017}$ tính

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với mọi $ n \in N$ ta có:

$ \dfrac{n^{2}}{(n - 1)(n + 1)} = \dfrac{(n^{2} - 1) + 1}{n^{2} - 1}$

$ = 1 + \dfrac{1}{n^{2} - 1} = 1 + \dfrac{(n + 1) - (n - 1)}{2(n + 1)(n - 1)}$
$ = 1 + \dfrac{1}{2(n - 1)} - \dfrac{1}{2(n + 1)}$

Do đó :

$ n = 2 :\dfrac{2^{2}}{1.3} = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}$

$ n = 3 :\dfrac{3^{2}}{2.4} = 1 + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{8}$

$ n = 4 :\dfrac{4^{2}}{3.5} = 1 + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{10}$

$ n = 5 :\dfrac{5^{2}}{4.6} = 1 + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12}$

...................................

$ n = 2015 :\dfrac{2015^{2}}{2014.2016} = 1 + \dfrac{1}{4028} - \dfrac{1}{4032}$

$ n = 2016 :\dfrac{2016^{2}}{2015.2017} = 1 + \dfrac{1}{4030} - \dfrac{1}{4034}$

Cộng lại:

$ S = 2015 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4032} - \dfrac{1}{4034} $